En d’autres termes, le 10e problème de Hilbert est indécidable.
Les mathématiciens espéraient suivre la même approche pour prouver la model étendue des anneaux des titres du problème, mais ils ont frappé un accroc.
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La correspondance utile entre les machines Turing et les équations de diophantine s’effondre lorsque les équations sont autorisées à avoir des options non entières. Par exemple, considérez à nouveau l’équation y = x2. Si vous travaillez dans un anneau d’entiers qui comprend √2, vous vous retrouverez avec de nouvelles options, telles que x = √2, y = 2. L’équation ne correspond plus à une machine Turing qui calcule des carrés parfaits – et, plus généralement, les équations diophantines ne peuvent plus coder le problème d’arrêt.
Mais en 1988, un étudiant diplômé de l’Université de New York a nommé Sasha Shlapentokh a commencé à jouer avec des idées pour contourner ce problème. En 2000, elle et d’autres avaient formulé un plan. Dites que vous deviez ajouter un tas de termes supplémentaires à une équation comme y = x2 que magiquement forcé x Pour être à nouveau un entier, même dans un système de nombres différents. Ensuite, vous pouvez récupérer la correspondance d’une machine Turing. Pourrait-on faire la même selected pour toutes les équations diophantines? Si c’est le cas, cela signifierait que le problème de Hilbert pourrait coder le problème d’arrêt dans le nouveau système de nombres.
Illustration: Myriam Wares pour Journal Quanta
Au fil des ans, Shlapentokh et d’autres mathématiciens ont compris quels termes ils devaient ajouter aux équations diophantines pour divers sorts d’anneaux, ce qui leur a permis de démontrer que le problème de Hilbert était toujours indécidable dans ces contextes. Ils ont ensuite résolu tous les anneaux restants des entiers dans un cas: des anneaux qui impliquent le numéro imaginaire je. Les mathématiciens ont réalisé que dans ce cas, les termes qu’ils devraient ajouter pourraient être déterminés à l’aide d’une équation spéciale appelée courbe elliptique.
Mais la courbe elliptique devrait satisfaire deux propriétés. Premièrement, il faudrait avoir une infinité de options. Deuxièmement, si vous passiez à un autre anneau d’entiers – si vous avez supprimé le nombre imaginaire de votre système de nombres – alors toutes les options à la courbe elliptique devraient maintenir la même construction sous-jacente.
Il s’est avéré que la building d’une telle courbe elliptique qui fonctionnait pour chaque bague restante était une tâche extrêmement subtile et difficile. Mais Koymans et Pagano – consultants sur les courbes elliptiques qui avaient travaillé en étroite collaboration depuis qu’ils étaient à des études supérieures – avaient juste le bon outil à essayer.
Nuits sans sommeil
Depuis son temps de premier cycle, Koymans pensait au 10e problème de Hilbert. Tout au lengthy des études supérieures, et tout au lengthy de sa collaboration avec Pagano, il a fait signe. « J’ai passé quelques jours chaque année à y penser et à rester horriblement coincé », a déclaré Koymans. «J’essaierais trois choses et ils exploseraient tous sur mon visage.»
En 2022, lors d’une conférence à Banff, au Canada, lui et Pagano ont fini par discuter du problème. Ils espéraient qu’ensemble, ils pourraient construire la courbe elliptique spéciale nécessaire pour résoudre le problème. Après avoir terminé d’autres projets, ils se sont mis au travail.
